Lưu ngay công thức tính diện tích tam giác kèm ví dụ dễ hiểu

Trong toán học, tam giác là một trong những hình học cơ bản nhưng cũng là nền tảng quan trọng của nhiều bài toán. Để nắm vững cách giải các bài toán liên quan đến tam giác, việc hiểu rõ các công thức tính diện tích là điều không thể thiếu. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết về cách tính diện tích tam giác với ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn áp dụng hiệu quả vào mọi bài toán.

Hình tam giác là một hình học cơ bản trong toán học, được tạo thành bởi ba đoạn thẳng nối ba điểm không thẳng hàng với nhau. Ba điểm này được gọi là đỉnh của tam giác, và ba đoạn thẳng nối chúng là cạnh của tam giác. Tam giác có ba góc trong, và tổng các góc này luôn bằng 180 độ. Các loại tam giác thường gặp bao gồm: tam giác thường, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác tù, tam giác nhọn, tam giác vuông cân

Tam giác sở hữu nhiều tính chất quan trọng và nổi bật trong cả toán học lẫn hình học. Dưới đây là một số tính chất cơ bản mà học sinh cần nắm vững để giải quyết các bài toán hiệu quả:

• Tổng các góc trong tam giác: Tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180 độ. Đây là một định lý quen thuộc trong hình học, gọi là định lý tổng các góc của tam giác.

• Định lý Pythagoras: Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài của hai cạnh góc vuông. 

• Bất đẳng thức tam giác: Tổng độ dài của hai cạnh bất kỳ trong tam giác luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

• Định lý góc ngoài: Góc ngoài của một tam giác luôn bằng tổng hai góc trong còn lại mà không có góc đó. Nói cách khác, góc ngoài bằng hiệu giữa góc 180 độ và góc trong liền kề nó.

• Đường phân giác trong tam giác: Đường phân giác của tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến điểm trên cạnh đối diện sao cho nó chia cạnh này thành hai đoạn có tỉ số bằng tỉ số độ dài hai cạnh còn lại.

• Các trung điểm trong tam giác: Ba đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác tới các điểm trung điểm của cạnh đối diện là ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và giao nhau tại một điểm (gọi là trọng tâm của tam giác).

• Chu vi và diện tích tam giác: Chu vi của tam giác là tổng độ dài ba cạnh. Diện tích tam giác có thể tính bằng nhiều cách, như công thức Heron hoặc bằng cách sử dụng chiều cao và cạnh đáy.

Những tính chất này cung cấp nền tảng quan trọng cho việc giải quyết các bài toán về tam giác, từ cơ bản đến nâng cao, trong hình học và các lĩnh vực toán học liên quan.

Tam giác thường ABC có ba cạnh a, b, c và đường cao ha được vẽ từ đỉnh A.

Ảnh minh họa hình tam giác thường có độ dài ba cạnh a, b, c không bằng nhau

a. Đặc điểm: Tam giác thường là tam giác có ba cạnh và ba góc có số đo không bằng nhau.

b. Công thức chung: Diện tích tam giác thường được tính bằng cách lấy độ dài một cạnh nhân với chiều cao tương ứng rồi chia cho 2.

Trong đó: a là độ dài một cạnh 

•      ha là chiều cao từ đỉnh A của tam giác xuống cạnh a đó

c. Ví dụ: Tính diện tích hình tam giác có đáy dài 5 m và chiều cao là 30 dm. 

Bài giải: Chiều cao 30 dm = 3 m

Vậy diện tích tam giác ABC là: S = 125.3 = 7.5 m2 

Tam giác ABC vuông tại B, với a và b là hai cạnh góc vuông.

Ảnh minh họa hình tam giác vuông có góc vuông tại B và hai cạnh vuông góc a, b

a. Đặc điểm: Tam giác vuông có một góc bằng 90°, hai cạnh góc vuông tạo nên góc này vuông góc với nhau, nghĩa là chúng gặp nhau sao cho điểm giao của chúng tạo thành một góc 90°.

b. Công thức chung: Diện tích tam giác vuông được tính bằng cách nhân hai cạnh góc vuông với nhau rồi chia cho 2.

Trong đó: a và b là hai cạnh góc vuông

c. Ví dụ: Tam giác ABC có hai cạnh góc vuông dài lần lượt là 9 m và 12 m. 

Khi đó sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông, S(ABC) có giá trị như sau:

S(ABC) = 129.12 = 54m2

Tam giác đều ABC có ba cạnh bằng nhau với độ dài cạnh là a.

Ảnh minh hoạ cho hình tam giác đều có ba cạnh AB, BC và AC đều bằng nhau

a. Đặc điểm: Tam giác đều có ba cạnh và ba góc bằng nhau, mỗi góc đều bằng chính xác 60°.

b. Công thức chung: Diện tích tam giác đều được tính bằng cách lấy cạnh bất kỳ nhân với chiều cao tương ứng rồi chia cho 2. 

Trong đó: a là chiều dài của một cạnh bất kỳ

•      h là chiều cao bất kỳ (trong tam giác đều, chiều cao từ ba đỉnh đều giống nhau)

c. Ví dụ: Tam giác đều ABC có cạnh dài 7 cm và chiều cao từ đỉnh A là 6 cm. 

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều, ta được: S(ABC) = 127.6 = 21 cm²

Tam giác cân ABC có cạnh đáy dài a và hai cạnh bên bằng nhau, với ha là chiều cao từ đỉnh A xuống đáy.

Ảnh minh họa cho hình tam giác cân có hai cạnh bên AB, AC bằng nhau 

a. Đặc điểm: Tam giác cân có độ dài hai cạnh bên bằng nhau và hai góc đối diện với những cạnh này cũng bằng nhau.

b. Công thức chung: Diện tích tam giác cân được tính bằng cách lấy độ dài cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng rồi chia cho 2.

Trong đó: a là chiều dài cạnh còn lại khác 2 cạnh có độ dài bằng nhau (BC)

•       ha là chiều cao nối từ đỉnh góc đối diện của cạnh đó xuống đáy 

c. Ví dụ: Tính diện tích tam giác cân có cạnh đáy bằng 5 m và đường cao hạ từ đỉnh A bằng 3,2 m

Bài giải:

Diện tích của hình tam giác là: S = 12(5 x 3,2)  = 8 m2

Tam giác ABC vuông cân tại A, với a là độ dài của hai cạnh góc vuông bằng nhau.

Ảnh minh họa cho hình tam giác vuông cân có góc vuông tại A và độ dài hai cạnh vuông góc bằng nhau

a. Đặc điểm: Tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng nhau và hai góc nhọn mỗi góc đều bằng 45°.

b. Công thức chung: Diện tích tam giác vuông cân được tính bằng cách bình phương độ dài một cạnh góc vuông rồi chia cho 2.

Trong đó: a là độ dài hai cạnh góc vuông bằng nhau.

c. Ví dụ: Tam giác vuông cân ABC có độ dài hai cạnh góc vuông là 10 cm. Diện tích tam giác ABC được tính như sau: S(ABC) = 12(10²) = 50 cm²

Tam giác ABC nằm trong hệ tọa độ không gian ba chiều, với tọa độ của ba điểm A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃).

Ảnh minh họa cho bài toán tính diện tích tam giác nằm trong trục tọa độ Oxyz

a. Đặc điểm: Tam giác trong không gian Oxyz được xác định bởi ba điểm không đồng phẳng, và diện tích của tam giác phụ thuộc vào tọa độ của các điểm này. Tọa độ x, y và z là các số thực thể hiện vị trí của điểm trong không gian.

b. Công thức chung: Diện tích tam giác ABC được tính bằng nửa giá trị tuyệt đối của tích hạng ba của hai vectơ AB và AC

c. Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh lần lượt là A(-1;1;2), B(1;2;3), C(3;-2;0). Tính diện tích tam giác ABC.

Bài giải:

Ta có: AB= (2;1;1), AC= (4;-3;-2)

Diện tích tam giác ABC là: S = 12AB.AC = 1652

Từ các công thức diện tích tam giác, bạn có thể áp dụng cho nhiều dạng bài tập khác nhau và bạn cần ghi chú lại vì sẽ thường xuyên gặp trong nhiều bài tập. Học thuộc các công thức trên và các dạng bài tập dưới đây sẽ giúp bạn giải bài tập nhanh chóng:

Khi bài toán cho tam giác đều và độ dài một cạnh, có bốn công thức tính diện tích tam giác đều để bạn lựa chọn và áp dụng.

Khi biết độ dài một cạnh trong tam giác đều, đồng nghĩa với việc ta biết độ dài của cả ba cạnh và biết 3 góc bằng nhau và bằng 60 độ. Đối với dạng bài tập, ta có ba công thức tính diện tích tam giác đều như sau:

• Cách 1: Sử dụng công thức Heron: S = (p .(p – a). (p – b). (p – c).

• Cách 2: Sử dụng định lý Cosin, S(ABC) = 12.a².sin(60⁰).

• Cách 3: Sử dụng công thức để tìm ra chiều cao của tam giác: h = a² – (a2)². Sau đó, áp dụng công thức tính diện tích tam giác thường để tìm kết quả

• Cách 4: Sử dụng công thức S = a2.34

Bài tập: Cho một tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 6 cm. Tính diện tích tam giác đều.

Bài giải:  Với a = 6 cm, ta có công thức tính diện tích tam giác đều S = a2.34 = 62.34 = 93 cm2

Khi đề bài tính diện tích tam giác đã cho biết độ dài ba cạnh, ta áp dụng công thức Heron vào để giải bài toán:

Trong đó, tam giác ABC có ba cạnh a, b và c, và nửa chu vi là p = a + b + c2 

Bài tập: Tính diện tích hình tam giác có độ dài cạnh AB = 8 cm, AC = 7 cm, CB = 9 cm

Hình ảnh tam giác minh họa cho bài toán áp dụng công thức Heron

Bài giải: 

Tam giác ABC có nửa chu vi p = 8 + 7 + 92 = 12 cm

Vận dụng công thức Heron vào bài toán, ta có: S(ABC) = (12 .(12 – 8).(12 – 7).(12 – 9) = 125 cm2

Đối với dạng bài tập này, ta áp dụng cách tính diện tích tam giác cơ bản: S(ABC) = 12a.ha.

Bài tập: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC là 40 cm, chiều cao tương ứng với cạnh đáy BC có độ dài là 5 cm. Tính diện tích tam giác ABC

Bài giải: Ta có: S(ABC) = 12(BC.h) = 12(40.5) = 100 cm²

Vậy diện tích tam giác ABC = 100 cm²

Bài toán cho biết diện tích tam giác vuông và cạnh a, đi tìm chiều dài cạnh huyền

Công thức tính diện tích tam giác vuông ABC là S = 12a.b

Bài tập: Cho tam giác vuông ABC có diện tích là 24 cm² và độ dài một cạnh góc vuông là 6 cm. Tìm độ dài cạnh huyền.

Bài giải: 

Ta có: S(ABC) = 12.6.b = 24 cm² b = 8 cm

Vậy độ dài cạnh còn lại là 8 cm. Cạnh huyền c được tính theo định lý Pythagoras: 

c = a2+b2 = 62+82 = 10 cm

Bài tập: Cho tam giác ABC trong không gian Oxyz có tọa độ các đỉnh lần lượt là A(1, 2, 3), B(4, 0, 1), và C(0, 3, 2). Tính diện tích tam giác này.

Bài giải

Diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz được tính bằng công thức: 

S = 12AB.AC

Ta có hai vectơ: AB = (3;-2.;2), AC = (-1;1;-1)

Tích có hướng của hai vectơ:  AB.AC = (4;-5;1) AB.AC = 42 

Diện tích tam giác ABC trong tọa độ Oxyz = 12.42 3.24 

Bài tập 1: Tính diện tích tam giác cân ABC có cạnh đáy là a, cạnh bên bằng b. Từ đó hãy tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a.

Hình ảnh minh họa cho bài toán tính diện tích tam giác đều khi biết độ dài 1 cạnh

Bài giải: Xét tam giác cân ABC có AB = AC = b, BC = a.

Từ A kẻ AH ⊥ BC BH = HC = 12BC = a2

Khi đó ta có: S(ABC) = 12.AH.BC =12.a.AH

Áp dụng định lý Pythagoras, ta có: AC2 = AH2 + HC2⇒ AH = AC2-HC2

AH=b2-a24=4b2-a22

Khi đó S(ABC) = 12.AH.BC = a4b2-a24

Vậy diện tích của tam giác đều ABC các cạnh bằng a là S(ABC) = a4b2-a24 = a234

Bài tập 2: Tam giác ABC vuông tại A, h = 6 cm và cạnh góc vuông bằng 8 cm. Tính diện tích của tam giác vuông ABC.

Bài giải: Ta có ABC là tam giác vuông tại A, với cạnh góc vuông = 8 cm và chiều cao h = 6 cm.

Ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông sau: S = 12a.h = 12.8.6 = 24 cm²

Vậy diện tích của tam giác ABC là 24 cm².

Bài tập 3: Tính đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân ABC. Biết tam giác ABC cân tại A với BC = 30 cm, đường cao AH = 20 cm. 

Hình ảnh minh họa cho bài toán tìm đường cao tương ứng cạnh bên của tam giác cân ABC

Bài giải: Tam giác ABC cân tại A có BC = 30 cm ⇒ BH = CH = 15 cm

Áp dụng định lý Pythagoras, ta có: AB = AH2+ HB2=202+ 152 = 25 cm

Theo đề, ta kẻ đường BK vuông góc với AC

Ta có : S(ABC) = 12AH.BC = 300 cm²

Mặt khác: S(ABC) = 12BK.AC = 12BK.25

Vậy 12BK.25 = 300 cm² ⇔ BK = 2.30025 = 24 cm

Đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân BK = 24 cm.

Khi tính diện tích tam giác, bạn cần chú ý đến việc xác định đúng công thức phù hợp với loại tam giác: tam giác thường, tam giác vuông, tam giác cân, hay tam giác đều. Ngoài ra, bạn cũng cần chú ý một số trường hợp đặc biệt sau để đưa ra hướng đi phù hợp:

• Tam giác có chiều cao nằm bên ngoài tam giác thì diện tích tam giác là chiều cao nhân đáy tương ứng.

• Nếu hai tam giác có cùng chiều cao hoặc chiều cao bằng nhau, diện tích của chúng sẽ tỉ lệ với độ dài của hai cạnh đáy. Ngược lại, nếu hai tam giác có chung đáy, diện tích sẽ tỉ lệ với chiều cao tương ứng.

Công thức tính diện tích tam giác lớp 5 rất đơn giản và là bước cơ bản trong toán học: S = 12a.ha.. Trong đó, a là độ dài của một cạnh, h là chiều cao. Với công thức này, học sinh có thể dễ dàng tính diện tích khi biết chiều dài cạnh đáy và chiều cao tương ứng của hầu hết các loại tam giác như tam giác đều, tam giác vuông,...

Để tính diện tích tam giác đều khi biết độ dài một cạnh, ta sử dụng công thức Heron, không thể áp dụng công thức cơ bản như thông thường. Công thức Heron tính diện tích theo biểu thức:

S = (p .(p – a). (p – b). (p – c)

Trong đó, a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, và p là nửa chu vi, được tính theo công thức: a+b+c2

Ngoài ra, để tính diện tích tam giác đều, ta có thể sử dụng công thức: S = a2.34

Với a là độ dài một cạnh của tam giác đều. Công thức này áp dụng cho mọi tam giác đều, do các cạnh và góc của tam giác đều luôn bằng nhau.

Bạn có thể tìm hiểu thêm chi tiết về cách tính diện tích tam giác qua các bài viết như công thức tính diện tích tam giác hoặc câu hỏi thường gặp về diện tích tam giác để nắm rõ hơn các phương pháp tính toán trong các trường hợp khác nhau.

Như vậy, bài viết trên đã tổng hợp đầy đủ cách tính diện tích tam giác dựa trên từng loại tam giác khác nhau. Từ các tam giác thường, tam giác vuông, tam giác cân đến tam giác đều, bạn đều có thể dễ dàng áp dụng công thức phù hợp để giải bài tập một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn và giải quyết các bài toán một cách chính xác.