Công thức tính thể tích hình trụ, khối trụ và bài tập vận dụng

Công thức tính thể tích hình trụ được ứng dụng phổ biến trong thực tế bởi đây là hình khối xuất hiện khá nhiều. Mặt khác đây cũng là một trong những kiến thức quan trọng trong toán học. Để hiểu rõ hơn về hình trụ, khối trụ cùng các công thức tính tương ứng, bạn hãy tham khảo bài viết sau.

Công thức tính thể tích hình trụ được sử dụng rộng rãi trong đời sống.

Hình trụ có nhiều hình thái biểu hiện khác nhau bao gồm mặt trụ, hình trụ và khối trụ. Cụ thể như sau: 

Mặt trụ hay mặt trụ tròn xoay được sinh ra giữa 1 trục (đường thẳng ∆) và 1 đường sinh (đường thẳng l) chạy song song nhau. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng này chính là bán kính của hình trụ, được ký hiệu là r. Trong đó ∆ được cố định và l sẽ quay thành vòng tròn trên mặt phẳng (P) để tạo thành một mặt nón tròn xoay. 

Đặt ký hiệu A, B cho 2 đầu của trục, còn C, D là độ dài đường sinh. Khi tiến hành quay hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng AB thì hình trụ tròn xoay sẽ được tạo ra, tương ứng với đường gấp khúc ABCD. Trong đó, độ dài 2 đoạn thẳng AB và CD bằng nhau và chính là chiều cao của hình trụ. Hình tròn tâm A, bán kính AD và hình tròn tâm B, bán kính BC được gọi là 2 đáy của hình trụ. 

Khối trụ là tên viết tắt của khối trụ tròn xoay. Nó chính là phần không gian được giới hạn bởi hình trụ tròn xoay, bao gồm cả hình trụ. Theo đó thể tích khối trụ tương ứng với lượng không gian hình trụ chiếm.

Thể tích của hình trụ được tính theo công thức: V = π. r2. h

Trong đó:

• V là ký hiệu của thể tích.

• r là bán kính mặt đáy hình trụ.

• h ứng với chiều cao của hình trụ, tức là khoảng cách giữa 2 đáy.

• π là hằng số ( π = 3,14).

• Đơn vị thể tích: mét khối (m3).

Ví dụ: Tính thể tích của hình trụ có chiều cao 8cm và bán kính đáy bằng 5cm.

Áp dụng công thức tính v khối trụ ta có: V = 3.14 x (5)2 x 8 = 628 (cm3).

Công thức tính thể tích hình trụ là V = π. r2. h.

Thể tích hình trụ bao gồm 3 dạng bài tập khác nhau với cách giải cụ thể là:

Trong bài tập xác định bán kính đáy của hình trụ sẽ có 4 dạng dữ kiện đề bài khác nhau như sau:

• Trường hợp 1: Đề bài cho đường kính mặt tròn thì bán kính đáy sẽ được xác định bằng cách chia cho 2.

• Trường hợp 2: Đề bài cho chu vi mặt đáy thì bán kính đáy tính theo công thức chu vi chia 2π.

• Trường hợp 3: Khi mặt đáy hình trụ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác thì việc tính bán kính đáy có thể linh hoạt áp dụng theo một trong các phương pháp dưới đây:

  • Phương pháp 1: Áp dụng định lý sin trong tam giác: Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c lần lượt là đoạn thẳng BC, CA và AB. Còn R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Lúc này bán kính đáy sẽ bằng a/2sin A = b/2sin B = c/2sin C.

  • Phương pháp 2: Áp dụng diện tích tam giác: Cho tam giác ABC bao gồm 3 cạnh a, b, c có diện tích là: S = abc/4R thì bán kính đáy sẽ là R = abc/4S. Trong đó S của tam giác ABC được tính theo công thức Hê-rông: S = √[(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)​]/4​.

  • Phương pháp 3: Áp dụng hệ tọa độ: Xác định tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lúc này khoảng cách từ O tới một trong ba đỉnh A, B, C sẽ là bán kính đáy: R = OA = OB = OC.

  • Phương pháp 4: Áp dụng tam giác vuông: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng 1/2 độ dài cạnh huyền bởi tâm đường tròn chính là trung điểm của cạnh huyền.

• Trường hợp 4: Mặt đáy hình trụ là đường tròn nội tiếp của tam giác ABC với BC = a, CA = b và AB = c, còn r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Lúc này, bán kính đáy sẽ được tính bằng công thức r = S/p. Trong đó S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi, p = (a + b + c)/2.

Bạn dựa vào các trường hợp cụ thể để xác định bán kính đáy của hình trụ. 

Để tính được diện tích đáy tròn, bạn chỉ việc tính bán kính đáy và áp dụng công thức S = π x r^2.

Chiều cao của hình trụ được tính dựa vào những dữ kiện đề bài cho như sau: 

• Trường hợp 1: Khi đề bài cung cấp độ dài đường chéo nối từ tâm của một đáy đến đường tròn của đáy còn lại thì ta chỉ cần áp dụng định lý Py-ta-go để tính chiều cao.

• Trường hợp 2: Khi một mặt tứ giác như hình vuông, hình chữ nhật cắt hình trụ thì trước tiên, chúng ta cần tính độ dài các cạnh của hình tứ giác đó rồi mới suy ra được chiều cao hình trụ.

Dưới đây là một số đề bài tính thể tích khối trụ tròn xoay có cách thực hiện chi tiết cho bạn tham khảo: 

Bài 1: Tính thể tích của hình trụ có diện tích xung quanh là 10π cm² và diện tích toàn phần là 18π cm².

Lời giải:

Từ công thức tính diện tích toàn phần hình trụ là Stp = Sxq + Sđ = 2πrh + 2πr²

Suy ra 2πr² = 18π - 10π = 8π nên bán kính đáy r = 2cm.

Từ công thức tính diện tích xung quanh hình trụ là Sxq = 2πrh 

Suy ra h = Sxq : 2πr = 10π : 4π = 2,5cm.

Lúc này, thể tích hình trụ sẽ là V = π. r2. h = 3,14 x (2)² x 2,5 = 31,4 (cm³).

Bài 2:

Tính thể tích của hình trụ có chu vi đáy bằng 50cm và diện tích xung quanh bằng 20cm². 

Lời giải:

Chu vi đáy của hình trụ = 2.r.π = 50 (cm), suy ra r = 50 : 2π = 25/π (cm).

Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = chu vi đáy x h 

Suy ra h = Sxq : chu vi đáy = 20cm² : 50cm = 0,4 (cm).

Theo đó, thể tích của hình trụ sẽ là V = π. r2. h =  π x 25/π x 0,4 = 10 cm³

Bài 3: Tính thể tích của hình trụ có bán kính 2 mặt đáy là 5cm và chiều cao bằng 10cm.

Lời giải: 

Ta áp dụng công thức: V = π. r2. h = 3.14 x (5)² x 10 = 785 (cm³).

Với hình trụ có r = 5cm và h = 10cm thì thể tích là 785 (cm³).

Trên đây là toàn bộ những kiến thức liên quan đến công thức tính thể tích hình trụ gồm mặt trụ, hình trụ, khối trụ, các dạng bài tập liên quan và một số ví dụ cụ thể. Hy vọng qua đó bạn sẽ dễ dàng giải được các bài toán hình khối trụ và có được kết quả chính xác.