Số nguyên là gì? Tìm hiểu về số nguyên dương và số nguyên âm

Toán học là nền tảng quan trọng không chỉ trong học tập mà còn hiện diện ở nhiều khía cạnh của cuộc sống hằng ngày. Trong số các khái niệm cơ bản, "số nguyên" là một trong những phần kiến thức cốt lõi, đóng vai trò nền tảng cho nhiều chủ đề toán học nâng cao. Vậy số nguyên là gì, có những đặc điểm gì nổi bật và ứng dụng của nó ra sao? Hãy cùng khám phá chi tiết trong bài viết này nhé!

Số nguyên là gì?

Số nguyên là tập hợp các số không có phần thập phân, bao gồm cả số âm, số dương và số 0. Đây là một tập hợp mở rộng từ các số tự nhiên bằng cách bổ sung thêm các số đối âm của chúng và số không.

Trong toán học, tập hợp số nguyên được ký hiệu là ℤ (chữ viết tắt từ tiếng Đức Zahlen – nghĩa là “số”). Tập hợp số nguyên bao gồm:..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Số nguyên là tập hợp các số không có phần thập phân, bao gồm cả số âm, số dương và số 0

Số nguyên được chia thành ba nhóm chính:

• Số nguyên dương: là các số lớn hơn 0, ví dụ: 1, 2, 3,...
• Số nguyên âm: là các số nhỏ hơn 0, ví dụ: -1, -2, -3,...
• Số 0: là số trung lập, không phải âm cũng không phải dương

Số nguyên có những đặc điểm nổi bật và một số tính chất toán học quan trọng như sau:

Đặc điểm nổi bật:

• Không chứa phần thập phân hoặc phần lẻ (ví dụ: số 0,75 không phải là số nguyên).
• Có thể biểu diễn vô hạn trên trục số.
• Có tính đối xứng qua điểm 0.

Các tính chất cơ bản:

Tính chất cộng: Tổng của hai số nguyên luôn là một số nguyên

Ví dụ: (-2) + 3 = 1

Tính chất trừ: Hiệu của hai số nguyên cũng là một số nguyên

Ví dụ: 5 - 7 = -2

Tính chất nhân: Tích của hai số nguyên luôn là số nguyên

Ví dụ: (-3) × 4 = -12

Tính chất chia: Thương của hai số nguyên không nhất thiết là số nguyên

Ví dụ: 5 ÷ 2 = 2.5 → không phải số nguyên

Tính thứ tự của số nguyên:

Các số nguyên có thể được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Ta có thể so sánh được giữa hai số nguyên bất kỳ.

Ví dụ: -4 < -2 < 0 < 3 < 6

Số nguyên có tính cộng, trừ, nhân, chia

Trong toán học có nhiều tập hợp số như số nguyên, số tự nhiên, số thập phân, số hữu tỉ,... Sau đây hãy cùng so sánh số nguyên với một số tập hợp số khác để bạn có cái nhìn rõ hơn nhé:

So sánh với số tự nhiên:

Số tự nhiên bao gồm 0 và các số dương: 0, 1, 2, 3,…

Số nguyên bao gồm cả số âm, số 0 và số dương: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…

⟹ Số nguyên là tập hợp lớn hơn, bao trùm cả số tự nhiên.

So sánh với số hữu tỉ và số thực:

Số hữu tỉ là những số có thể biểu diễn dưới dạng phân số (a/b, với b ≠ 0). Ví dụ: 1/2,-3/4,...

Số thực bao gồm cả số hữu tỉ và vô tỉ (như √2, π)

⟹ Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ (vì có thể viết dưới dạng phân số như 3 = 3/1), nhưng không phải số hữu tỉ nào cũng là số nguyên.

Ứng dụng của số nguyên trong đời sống

Số nguyên không chỉ tồn tại trong sách vở mà còn có ứng dụng vô cùng phong phú, ngay cả số nguyên âm cũng thường xuyên xuất hiện:

Trong học tập:

• Dùng trong giải phương trình, bất phương trình;
• Là nền tảng cho đại số, giải tích và các bài toán logic;
• Áp dụng trong môn tin học, lập trình (biến kiểu integer - số nguyên).

Trong đời sống thực tế:

• Nhiệt độ: Dùng để chỉ mức nhiệt âm/dương. Ví dụ: -5°C vào mùa đông;
• Tài chính: Biểu diễn lời - lỗ. Ví dụ: Lãi 2 triệu (số dương), lỗ 3 triệu (số âm);
• Địa lý: Độ cao hoặc độ sâu so với mực nước biển. Ví dụ: Núi cao +2000m, hố sâu -300m;
• Thời gian: Khoảng chênh lệch thời gian trước/sau (như ngày -3, +5 trong thống kê dữ liệu).

Dưới đây là một vài bài tập cơ bản giúp bạn nắm vững hơn kiến thức về số nguyên (đáp án cuối bài):

Bài tập 1: Xác định số nguyên: Hãy chọn ra các số nguyên trong dãy sau: -3, 0, 4.5, 7, -1.2, 8

Bài tập 2: Tính toán số nguyên sau: Tính: (-5) + 8 = ?

Bài tập 3: So sánh: So sánh các số sau: -7, -2, 3, 0

Số nguyên là một khái niệm quan trọng trong toán học, không chỉ xuất hiện thường xuyên trong học tập mà còn có mặt ở nhiều lĩnh vực đời sống. Việc hiểu rõ số nguyên là gì, nắm được các tính chất và ứng dụng của nó sẽ giúp bạn dễ dàng tiếp cận các kiến thức toán học nâng cao, đồng thời hiểu rõ hơn các hiện tượng thực tế xung quanh mình.

Đáp án phần bài tập ví dụ số nguyên:

Bài tập 1: Đáp án: -3, 0, 7, 8

Bài tập 2: Đáp án: 3

Bài tập 3: Thứ tự tăng dần: -7 < -2 < 0 < 3

Hãy luyện tập thường xuyên với các bài toán về số nguyên để nâng cao khả năng tư duy logic và tính toán chính xác nhé!