Số chính phương là gì? Một số dạng bài tập về số chính phương

Số chính phương là một khái niệm quen thuộc trong toán học nhưng không phải ai cũng biết. Vậy số chính phương là gì? Cách nhận biết thế nào? Cùng theo dõi bài viết dưới đây của Siêu Thị Điện Máy - Nội Thất Chợ Lớn để cập nhật chi tiết nhé!

Số chính phương là gì

Số chính phương là số nguyên dương có thể biểu diễn dưới dạng tích của một số nguyên với chính nó. Chẳng hạn, số 4 là số chính phương (vì 4 = 2 x 2) và số 9 cũng là số chính phương (vì 9 = 3 x 3). Qua các ví dụ này, ta nhận thấy số chính phương luôn là kết quả của việc lấy một số nguyên nhân với chính nó.

Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên

Dạng biểu diễn

Số chính phương là số nguyên dương (hoặc không âm, nếu tính cả 0) có dạng n2 với n là số tự nhiên (bao gồm 0). Ví dụ: 0 (0²), 1 (1²), 4 (2²), 9 (3²),... 

Căn bậc hai nguyên

Một số là chính phương nếu căn bậc hai của nó là số nguyên. Ví dụ: Căn bậc 2 của 16 bằng 4 nên 16 là số chính phương.

Số chính phương có căn bậc hai nguyên

Phân tích thừa số nguyên tố

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, các số mũ của các thừa số nguyên tố đều chẵn. Ví dụ:

• 36 = 2² x 3², các mũ đều chẵn, nên 36 là số chính phương.
• 18 = 11 x 3², có mũ lẻ, nên 18 không phải số chính phương.

Tính chất về chữ số tận cùng

Số chính phương chỉ có thể kết thúc bằng các chữ số: 0, 1, 4, 5, 6, hoặc 9. Ví dụ: 25 (kết thúc bằng 5), 36 (kết thúc bằng 6). Ngược lại, số kết thúc bằng 2, 3, 7, 8 không bao giờ là số chính phương.

Tổng các số lẻ liên tiếp

Một số chính phương có thể được biểu diễn là tổng của các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1. Ví dụ: 

• 16 = 1 + 3 + 5 + 7.
• 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Để nhận biết một số có phải là số chính phương hay không, bạn có thể áp dụng các cách sau:

Kiểm tra căn bậc hai

Căn bậc hai của một số chính phương luôn là một số tự nhiên. Nếu một số có căn bậc hai là số tự nhiên thì số đó chính là một số chính phương.

Ví dụ:

• Với số 16, √16 = 4 (số nguyên) → 16 là số chính phương. 
• Với số 18, √18 ≈ 4.242 (không nguyên) → 18 không phải số chính phương.

Kiểm tra căn bậc hai để xác định số chính phương

Phân tích thừa số nguyên tố

Một đặc điểm của số chính phương là khi phân tích thành thừa số nguyên tố, mọi thừa số nguyên tố đều xuất hiện với số mũ chẵn. Nói cách khác, nếu một số được biểu diễn dưới dạng tích các thừa số nguyên tố mà mỗi thừa số đều lặp lại một số lần chẵn, thì đó là một số chính phương.

Ví dụ:

• 36 = 2² × 3² (mũ đều chẵn) → 36 là số chính phương. 
• 18 = 2¹ × 3² (mũ không đều chẵn) → 18 không phải số chính phương.

Kiểm tra chữ số cuối

Trong hệ thập phân, số chính phương chỉ có thể kết thúc bằng một trong các chữ số sau: 0, 1, 4, 5, 6 hoặc 9. Điều này có nghĩa là nếu một số có chữ số tận cùng là 2, 3, 7 hoặc 8, thì chắc chắn không thể là số chính phương.

Ví dụ:

• 25 (kết thúc bằng 5) có thể là số chính phương (và √25 = 5, đúng). 
• Số 27 (kết thúc bằng 7) không thể là số chính phương.

Kiểm tra một số có phải là số chính phương hay không

Dạng bài: Cho số n, kiểm tra xem số n có phải là số chính phương hay không.

Ví dụ: Kiểm tra xem 144 có phải là số chính phương không?

Cách giải:

• Tính căn bậc hai: √144 = 12 (số nguyên).
• Kiểm tra 12² = 144.
• Kết luận: 144 là số chính phương.

Tìm số chính phương trong một khoảng

Dạng bài: Tìm tất cả các số chính phương trong khoảng từ a đến b.

Ví dụ: Tìm tất cả các số chính phương trong khoảng từ 1 đến 100.

Cách giải:

• Số chính phương là k² với k là số nguyên.
• Tìm k sao cho k² lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 100.
• Tính √100 xấp xỉ 100, nên k từ 1 đến 10.
• Các số chính phương: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100.
• Kết luận: Các số chính phương là 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Chứng minh số chính phương

Dạng bài: Chứng minh rằng số B = 4n4 + 4n3 + n² là số chính phương với mọi số nguyên dương n.

Cách giải:

• B = 4n4 + 4n3 + n² = n² x (4n² + 4n + 1) = n² x (2n + 1)²
• B có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai bình phương. Hoặc B = [n(2n+1)]², và n(2n + 1) là một số nguyên. 
• Kết luận: B là một số chính phương.

Tìm n sao cho một số là chính phương

Dạng bài: Tìm số tự nhiên n sao cho số sau là số chính phương: B = n^2 + 4n + 1.

Cách giải:

Vì số B là chính phương, ta đặt n² + 4n + 1 = b²

=> 4n² + 16n + 4 = 4b²

=> (4n² + 16n + 16) -16 + 4 = 4b²

=> (2n + 4)² - 4b² = 12

=> (2n + 4 + 2b) x (2n + 4 - 2b) = 12

Ta nhận thấy 2n + 4 + 2b > 2n + 4 - 2b, và đây đều những số nguyên dương. Tìm các cặp số tương ứng: (12,1), (6,2) và (4,3). 

Xét đến từng trường hợp để tìm ra n và b. Cụ thể:

• Trường hợp 1: (2n + 4 + 2b) x (2n + 4 - 2b) = 12 = 12 x 1 => n = 5/4, b = 11/4
• Trường hợp 2: (2n + 4 + 2b) x (2n + 4 - 2b) = 12 = 6 x 2 => n = 0, b = 1
• Trường hợp 3: (2n + 4 + 2b) x (2n + 4 - 2b) = 12 = 4 x 3 => n = -1/4, b = 1/4

Nhưng n là số tự nhiên, nên chỉ có đáp án n = 0, b = 1 là thỏa mãn. Và n = 0, suy ra số chính phương B = 1.

Bài viết của Siêu Thị Điện Máy - Nội Thất Chợ Lớn đã giải đáp thắc mắc số chính phương là gì. Với đặc tính độc đáo là bình phương của các số tự nhiên, số chính phương đã trở thành nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tiễn và bài toán hấp dẫn. Để đọc thêm nhiều bài viết hấp dẫn khác, đừng quên theo dõi chuyên mục kinh nghiệm mua sắm thường xuyên hơn nhé!